สรุป  เรื่อง “ลิมิตของฟังก์ชัน “

ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน f(x) หมายถึง เมื่อ x เข้าใกล้ค่าๆหนึ่งแล้ว ค่า f(x) มีค่าเข้าใกล้ค่าคงตัวค่าหนึ่ง ค่านั้นเรียกว่า   ลิมิตของฟังก์ชัน

 

วิธีการหาค่าลิมิต    

ลองแทนค่า  x = a ลงใน f(x) แล้วดูว่า f(a) หาค่าได้หรือไม่

1.   ถ้า f (a) หาค่าได้ (เป็นจำนวนจริง) สรุปได้ว่า   

2.   ถ้า f(a) หาค่าไม่ได้ ซึ่งจะมีอยู่สองลักษณะ

     2.1   ถ้า f (a) มีค่าเป็น ¥ หรือ -¥ เราสามารถสรุปได้ว่า    ไม่มีลิมิต   (ลิมิตหาค่าไม่ได้)

     2.2   ถ้า f(a) มีค่าอยู่ในรูป  แสดงว่า f(x) ต้องอยู่ในรูปเศษส่วน ดังนั้นเราต้องพยายามแยก

            ตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วน ให้มี (x - a) แล้วกำจัด (x - a) ทั้งเศษและส่วนทิ้ง หลังจากนั้นแทนค่า x = a ลงไป 

            ค่าที่ได้เป็นลิมิต

   [ในกรณี f(x) มีเทอม ( Öÿ+ÖD ) รวมอยู่ด้วย ให้นำคอนจุเกตของ ( Öÿ+ÖD ) คูณทั้งเศษและส่วน]

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน

 

1.                                                                 เมื่อ k เป็นค่าคงตัว

2.  

3.    

4.                                                                  เมื่อ    

5.   

6.                                                                                        เมื่อ k เป็นค่าคงตัว

7.   

 

ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวาของฟังก์ชัน f(x) [left hand and right hand limit]

   1.   เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางซ้าย  ( หมายความว่า  ค่า x < a )  เขียนแทนด้วย “ x ® a- “  ( a- <  a )  ถ้า   

        หาค่าได้  เราเรียกว่า  ลิมิตทางซ้ายของ f(x)

    2.   เมื่อ x เข้าใกล้ a ทางขวา  ( หมายความว่า  ค่า x > a )  เขียนแทนด้วย “ x ® a+ “  ( a+ >  a )  ถ้า   

        หาค่าได้  เราเรียกว่า  ลิมิตทางขวาของ f(x)

    3.      ก็ต่อเมื่อ  

    [ถ้า   แล้ว  หาค่าไม่ได้]

 

ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน  [Continuity]

ฟังก์ชัน f(x) จะมีความต่อเนื่องที่จุด x = a ก็ต่อเมื่อ

1.   สามารถหาค่า f(a) ได้

2.   สามารถหาค่า  ได้

3.   f(a)  =