3.   ลำดับเลขคณิต [Arithmetic Sequence or Arithmetic Progression] ย่อด้วย A.P. หรือ A.S.

นิยาม      ลำดับเลขคณิต  คือ  ลำดับซึ่งผลต่างร่วม [Common difference ตัวย่อ d] ระหว่างพจน์ที่ an+1 กับพจน์ที่ an 
                มีค่าคงที่ สำหรับทุกๆ
n                  

                นั้นคือ                                                      d  =  an+1 - an
                รูปทั่วๆไปของลำดับเลขคณิต  คือ        a1 , a1+d , a1+2d , ... , a1+(n-1)d , ... 
                พจน์ที่ n คือ                                           
an  =  a1+(n-1)d

 

ตัวอย่าง 1              กำหนดลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 7 และผลต่างร่วมเป็น 5    จงหา a8 และ a12

วิธีทำ                      เพราะว่า                                a1 = 7   และ   d = 5

                                เพราะฉะนั้น           a8   =   a1+ 7d   =   7 + 7(5)   =   42
                                                                a12 =   a1+ 11d =   7 + 11(5) =   62

 

ตัวอย่าง 2              จงหาพจน์ที่ 10 และพจน์ที่ 15 ของลำดับเลขคณิต 4, 9, 14, 19, ...
วิธีทำ                      จากโจทย์               a1   =   4
                                                                d    =   9 - 4   = 5
                                                                a10  =   a1 + 9d   =   4 + 9(5)   =   49
                                                                a15  =   a1 + 14d  =   4 + 14(5)  =   74

 

ตัวอย่าง 3              กำหนดลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 3 และผลต่างร่วมเป็น -3   ถ้า an  =  -15  จงหาค่า n
วิธีทำ                      เพราะว่า                                a1 = 3 , d = -3  และ  an = -15
                                เพราะฉะนั้น           an            =             a1 + (n - 1)d
                                                                -15          =             3 + (n - 1)(-3)
                                                                6              =             n - 1
                                                                7              =             n  

ตัวอย่าง 4              จงหาว่าลำดับเลขคณิต 4, 9, 14, 19, ..., 124 มีทั้งหมดกี่พจน์
วิธีทำ                      จากโจทย์               a1 = 4, d = 9 - 4 = 5 และ an = 124
                                                                an            =             a1 + (n - 1) d
                                                                124         =             4 + (n - 1)(5)
                                                                120         =             (n - 1)(5)
                                                                24           =              n - 1
                                                                25           =             n
                                เพราะฉะนั้น   ลำดับนี้มีทั้งหมด 25 พจน์

ตัวอย่าง 5              กำหนดลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 21 และพจน์ที่ 6 เป็น 6 จงหาผลต่างร่วม
วิธีทำ                      เพราะว่า                                a1 = 21 และ a6 = 6
                                จะได้ว่า                  a6            =             a1 + 5d
                                                                6              =             21 + 5d
                                                                -15          =             5d
                                                                 -3           =             d

ตัวอย่าง 6              กำหนดลำดับเลขคณิตมีผลต่างร่วมเป็น  และพจน์ที่ 10 เป็น 28 จงหาพจน์ที่ 1
วิธีทำ                      เพราะว่า                                d =   และ a10 = 28
                                จาก                         an            =             a1 + (n - 1)d
                                                                a10           =             a1 + 9d
                                                                28           =             a1 + 9()
                                                                28           =             a1 +
                                                                -          =             a1

ตัวอย่าง 7              กำหนดลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 4 เป็น 21 และพจน์ที่ 51 เป็น -355 จงหาลำดับเลขคณิต
วิธีทำ                      เพราะว่า                                a4 = 21   และ   a51 = -355
                                จะได้ว่า                                  a1 + 3d                   =             21                           .......... (1)
                                                                                a1 + 50d                 =             -355                        .......... (2)
                                (2) - (1)                                   47d                         =             -376
                                                                                d                             =             -8
                                แทนค่า d = -8 ใน (1);           a1 + 3(-8)               =             21

                                                                                a1 + (-24)               =             21
                                                                                      a1     =             45
                                                                                        an   =             a1 + (n - 1)d
                                                                                                                 =            45 + (n - 1)(-8)
                                                                                                                =             45 - 8n + 8
                                                                                                                =             53 - 8n
                                ดังนั้นลำดับนี้ คือ  45, 37, 29, ..., 53 - 8n, ...

ตัวอย่าง 8              กำหนดลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 2 เป็น 3a + 2b และพจน์ที่ 3 เป็น 4a + b  จงหา an
วิธีทำ                      a2            =              a1 + d                     =            3a + 2b                  ..........(1)
                                a3            =             a1 + 2d                    =            4a + b                    ..........(2)
(2) - (1);                  d              =            a - b
แทนค่า  d  =  a - b ใน (1)
                                a1 + a - b               =             3a + 2b
                                    a1                        =             2a + 3b
                                    an                        =             a1 + (n - 1)d
                                                                =             (2a + 3b) + (n - 1)(a - b)
                                                                =             2a + 3b + n(a - b) - (a - b)
                                                                =             a + 4b + n(a - b)

 

 

 

 

ตัวอย่าง 9              จำนวนเต็มบวกระหว่าง 100 กับ 500 มีกี่จำนวนที่ 9 หารลงตัว
วิธีทำ                      จากโจทย์               d = 9
                                                a1            =             108                         [ เพราะว่า  ระหว่าง 100 - 500 พจน์แรกที่ 9 หารลงตัว คือ                                              an            =             495                            108 และพจน์สุดท้าย คือ 495 ]
                                                an            =             a1 + (n - 1)d
                                                495         =             108 + (n - 1)(9)
                                                387         =             (n - 1)(9)
                                                  43         =             n - 1
                                                  44         =              n
                เพราะฉะนั้น  จำนวนระหว่าง 100 กับ 500 ที่ 9 หารลงตัวมีทั้งหมด 44 จำนวน
[ หรือ       จำนวนตั้งแต่ 1  ถึง  500  ที่  9  หารลงตัวมี    =  55  จำนวน
                จำนวนตั้งแต่ 1  ถึง  100  ที่  9  หารลงตัวมี 
  =  11  จำนวน

   ดังนั้น   จำนวนตั้งแต่ 100  ถึง  500  ที่  9  หารลงตัวมี  55 – 11 = 44 จำนวน]
 

ข้อสังเกต                                โดยปกติ : พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตจำกัดในรูปของ a1 และ d    คือ
                               
a1 ,  a1 + d ,  a1 + 2d ,  … ,  a1 + (n – 1)d
                1.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเลขคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคี่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
                                                ... ,  a – 2d ,  a – d ,  a ,  a + d ,  a + 2d ,  …
                                [ โดยเริ่มจากตรงกลางคือ a แล้วขยายไปทั้งด้านซ้ายและด้านขวาที่ละ d ]

                        ตัวอย่าง   ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี 5 พจน์และผลบวกของทุกพจน์เท่ากับ 30 ถ้าผลต่างร่วมมีค่าเท่ากับ 3 จงหาลำดับชุดนี้

                วิธีทำ       สมมติลำดับนี้คือ     a – 2d ,  a – d ,  a ,  a + d ,  a + 2d
                                จะได้ว่า                   (a – 2d) + (a – d) + (a) + (a + d) + (a + 2d)     =     30
                                                                                                                                5a              =     30
                                                                                                                \             a              =     6
                                ดังนั้น                      ลำดับชุดนี้  คือ  6 – 2(3) ,  6 – 3 ,  6 ,  6 + 3 ,  6 + 2(3)
                                                                หรือ                   0 ,  3 ,  6 ,  9 ,  12

                2.             ในกรณีที่ทราบว่า  ลำดับเลขคณิตจำกัดชุดหนึ่งมีจำนวนพจน์เป็นเลขคู่ควรจะสมมติพจน์ทั่วไปดังนี้คือ
                                                ... ,  a – 5d ,  a – 3d ,  a - d ,  a + d ,  a + 3d , a + 5d , …
                                [ โดยเริ่มจากตรงกลางคือ a – d  และ  a + d แล้วขยายไปทั้งด้านซ้ายและด้านขวาที่ละ 2d
                                   ข้อต้องระวัง   :   กรณีสมมติแบบพจน์คู่นี้  ผลต่างร่วมของเราจะเป็น 2d  ไม่ใช่  d ]

                        ตัวอย่าง   ลำดับเลขคณิตชุดหนึ่งมี 6 พจน์และผลบวกของทุกพจน์เท่ากับ 42   และพจน์ที่สองเท่ากับ 1   จงหาลำดับชุดนี้

                วิธีทำ       สมมติลำดับนี้คือ     a – 5d ,  a – 3d ,  a – d ,  a + d ,  a + 3d ,  a + 5d
                                จะได้ว่า                   (a – 5d) + (a – 3d) + (a – d) + (a + d) + (a + 3d) + (a + 5d)     =      42
                                                                                                                                                                6a           =      42
                                                                                                                                        \     a              =    7
                                ดังนั้น                      ลำดับชุดนี้  คือ  7 – 5(2) ,  7 – 3(2) ,  7 - 2 ,  7 + 2 ,  7 + 3(2) ,  7 + 5(2)
                                                                หรือ                   -3 ,  1 ,  5 ,  9 ,  13 ,  17

กล่องข้อความ: 2พจน์กลาง  หรือ  มัชฌิมเลขคณิต   [ Arithmetic Mean ]  ตัวย่อ  A.M.
พจน์กลาง  คือ  พจน์ตรงกลางทั้งหมดที่อยู่ระหว่างพจน์แรกและพจน์สุดท้าย
การหาพจน์กลางหนึ่งพจน์ระหว่างจำนวนจริง a และ b
ให้                            a , x , b      เรียงเป็นลำดับเลขคณิต                    [ เมื่อ a , x , b Î R ]
จะได้ว่า                  x - a        =              b - x
                                2x            =             a + b
                                  x            =            
เพราะฉะนั้น          
พจน์กลางหนึ่งพจน์ระหว่าง a  กับ  b  คือ    a + b

 

เช่น                          A.M. หนึ่งพจน์ระหว่าง 2 และ 8                            คือ                          
                                A.M. หนึ่งพจน์ระหว่าง  และ                       คือ                          
                                A.M. หนึ่งพจน์ระหว่าง a - x และ a + x                คือ          

การหาพจน์กลาง  m พจน์ระหว่างจำนวนจริง  a  และ  b
      เพราะว่า        ลำดับนี้มี m + 2 พจน์  โดย  a1 = a  และ  am+2 =  b
                                am+2                         =             a1 + (m + 2 - 1)d
                                b                             =             a1 + (m + 1)d
                                b                             =             a + (m + 1)d
                                b - a                        =             (m + 1)d

กล่องข้อความ: m+1                                                    =             d
        นั้นคือ             
d   =    b – a

ตัวอย่าง 10            จงหาพจน์ตรงกลาง 5 พจน์ของลำดับเลขคณิตระหว่าง 29 และ 5
วิธีทำ                      จากโจทย์               m = 5, a1 = 29 และ a7 = 5
                                                               
                                เพราะฉะนั้น           พจน์ตรงกลาง 5 พจน์ คือ 25, 21, 17, 13, 9

 

ตัวอย่าง 11            ถ้า   21, x, y, 12 เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต จงหา x และ y
วิธีทำ                      จากโจทย์                 m = 2, a = 21 และ b = 12
                                                               
                                เพราะฉะนั้น           x              =             21 - 3                      =    18
                                                                y              =             18 - 15                   =    15

 

Back