8.   อนุกรม [Series]


นิยาม    กำหนดให้    a1 , a2 , a3 , ... , an , ...                        เป็น “ ลำดับ “ 
                ดังนั้น            a1 + a2 + a3 + ... + an + ...   เรียกว่า “ อนุกรม “


ข้อสังเกต                                อนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัด  เรียกว่า “อนุกรมจำกัด “
                                อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์ เรียกว่า “อนุกรมอนันต์ “

 

8.1   อนุกรมจำกัด  [Finite Series]
นิยาม   อนุกรมจำกัด คือ อนุกรมที่มีทั้งหมด  n  พจน์    ;    a1 + a2 + a3 + ... + an


8.1.1    อนุกรมเลขคณิต

กำหนด  a1 ,  a2 ,  a3 ,  ... ,  an  เป็นลำดับเลขคณิต  ดังนั้นอนุกรมเลขคณิคคือ  a1+ a2 + a3 + ... + an   ซึ่งหาผลบวกได้โดย 

            1.     Sn   =    n [2a1 + (n - 1)d]

            2.     Sn   =    n [a1 + an]

พิสูจน์                     Sn              =           a1 + a2 + a3 + ... + an
                                               
Sn              =           a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + [a1 + (n - 1)d]                                  ..........(1)
                                Sn              =           [a1+ (n - 1)d] + [a1 + (n - 2)d] + [a1 + (n - 3)d] + ... + (a1 + d) + a1                    ..........(2)
(1) + (2);                2Sn            =           [2a1 + (n - 1)d] + [2a1 + (n - 1)d] + [2a1 + (n - 1)d] + ... + [2a1 + (n - 1)d]
                                                  =           n[2a1 + (n - 1)d]
                              

 

ตัวอย่าง 1              จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของลำดับเลขคณิต 11, 15, 19 ...
วิธีทำ                      จากโจทย์               a1 = 11, d = 15 - 11 = 4, n = 20
                                                               

ตัวอย่าง 2              กำหนดลำดับเลขคณิตลำดับหนึ่งมีพจน์ที่ 1 เป็น 55 และพจน์ที่ 17 เป็น 231 จงหาผลบวก 17 พจน์แรก
                                ของลำดับนี้

วิธีทำ                      จากโจทย์               a1 = 55,   a17 = 231 และ n = 17
                                                               

 

ตัวอย่าง 3              กำหนดลำดับเลขคณิตซึ่งผลบวกของพจน์ที่ 1 กับพจน์ที่ 5 เท่ากับ -2  และผลบวกของพจน์ที่ 2
                                กับพจน์ที่ 6 เท่ากับ 2  จงหาพจน์ที่ 10 และผลบวก 10 พจน์แรก
วิธีทำ                      a1 + a5                                    =             -2
                                a1 + a1 + 4d                          =             -2
                                2a1 + 4d                                =             -2
                                a1 + 2d                                   =             -1                                            ..........(1)
                                a2 + a6                                    =             2
                                a1 + d + a1 + 5d                  =             2
                                2a1 + 6d                                =             2
                                a1 + 3d                                   =             1                                              ..........(2)
(2) - (1);  d   =   2
แทนค่า  d = 2 ใน (1);           a1 + 2(2)                =              -1
                                                a1                             =             -5
เพราะฉะนั้น                           a10                                =             a1 + 9d
                                                                                =             -5 + 9(2)                  =    13
                                                S10                          =            

 

8.1.2    อนุกรมเรขาคณิต

กำหนด  a1 ,  a2 ,  a3 ,  ... ,  an  เป็นลำดับเรขาคณิต  ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตคือ  a1+ a2 + a3 + ... + an   ซึ่งหาผลบวกได้โดย 

                   Sn   =   na1                     เมื่อ   r = 1
                   Sn   =   a1( 1 - rn )           เมื่อ   r < 1             [  Sn  =  a1 - anr   ]

                                Sn   =   a1( rn -1 )            เมื่อ   r > 1

 

ตัวอย่าง 1              กำหนดลำดับเรขาคณิต   จงหา S10
วิธีทำ                      จากโจทย์ 
                                               

 

Back